Geometrie , notiuni teoretice

2. Triunghiul

Un triunghi este una din formele fundamentale ale geometriei : un poligon format din trei laturi care se intalnesc doua cate doua si formeaza trei unghiuri interne .

2.1  Tipuri de triunghiuri

  • triunghiul echilateral – este acel triunghi care are toate laturile egale, totodată are şi unghurile egale între ele cu masura fiecarui unghi de 60°.Triunghiul echilateral este un poligon regulat .
  • triunghiul isoscel – are două laturi egale între ele, de asemenea şi cele două unghiuri opuse unghiului dintre laturile egale sunt congruente.
  • triunghiul dreptunghic – unul dintre unghiurile triunghiului are 90 de grade.
  • triunghiul obtuzunghic – unul dintre unghiurile triunghiului are măsura mai mare decât 90 de grade
  • Triunghi scalen (sau oarecare) – are toate cele trei laturi (şi unghiuri) diferite.
  • Triunghi ascuţitunghic – toate din unghiurile mai mici de 90° .

Linii importante în triunghi

1.Bisectoarea– este semidreapta care împarte un unghi în două unghiuri congruente;sunt concurente în I, centrul cercului înscris in triunghi  :

2. Mediatoarea– este perpendiculară pe mijlocul unei laturi ;sunt concurente în O,centrul  cercului circumscris     :

3. Înălţimea-perpendiculara dintr-un vârf pe latura opusă. Cele trei perpendiculare ale triunghiului se intersecteaza intr-un punct (H) numit ortocentrul triunghiului. Orocentul triunghiului se gaseste in interiorul triunghiului daca triunghiul este ascutitunghic ; daca triunghiul este obtuzunghic atunci ortocentrul (H) este pozitionat in exteriorul repectivului triunghi :

4.Mediana– este segmentul de dreapta care uneşte un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.Medianele sunt concurente în G,centrul de greutate. Centrul de greutate se gaseste la 1/3 de bază şi 2/3 de vârf.

5. Linia mijlocie in triunghi este segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi. Este paralela cu cea de-a treia latura si masoara jumatate din lungimea acesteia.

3. Proprietati ale triunghiulilor

3.1 Triunghiul isoscel :

a)  Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile de la baza sunt congruente.

b)  Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi isoscel este înălţime, mediană şi mediatoare.

c)  Liniile corespunzatoare laturilor congruente sunt congruente;

d)  Oricare ar fi un triunghi isoscel, mediatoarea bazei triunghiului este axa de simetrie a triunghiului

3.2 Triunghiul echilateral

Triunghiul echilateral are uramatoarele proprietati :

– Prezinta trei axe de simetrie ;

– Cele trei unghiuri ale unui triunghi echilateral sunt egale si masoara fiecare 60° ;

– Laturile triunghiului echilateral au aceasi lungime ;

– Medianele,mediatoare, bisectoare şi înălţimi se confunda intre ele;

– Medianele (mediatoarele, bisectoarele si inaltimile) unui triunghi echilateral sunt congruente ;

– Mijloacele laturilor formează un alt triunghi echilateral.

Constructie geometrica

Triunghiul echilateral se construieşte folosind un compas. Se desenează un cerc de rază r, se plasează vârful compasului într-un punct de pe cerc şi se desenează un cerc de aceeaşi rază. Cele două cercuri se intersectează în două puncte. Prin unirea celor două centre ale cercurilor cu unul din punctele de intersecţie se obţine un triunghi echilateral.
Formule
Presupunand ca laturile au lungimea a atunci sunt valabile urmaoarele formule :
– Perimetrul P este :
– Înalţimea h este :
– Aria A este dată de formula:
– Raza cercului circumscris r­­u este :
– Raza cercului inscris r triunghiului este :
ARIA unui Triunghi

Măsoara suprafaţa din interiorul celor trei laturi ale triunghiului.

1.

Aria triunghiului  se calculează după forumula :

74                           75_2

unde, notatiile anterioare reprezintă :

A – > aria triunghiului ;

b –> baza triunghiului ;

h –> înălţimea triunghiului.

2. In cazul triunghiului dreptunghic, putem calcula aria folosind formula :

330px-Pythagoras_similar_triangles.svgA=\frac{a\cdot b}{2}

3.

In cazul triunghiului obtuzunghic, înălţimea care pleacă din unghiul ascuţit, va cădea întotdeauna pe prelungirea laturii opuse :

 

*********************************************

MEDITAŢII ONLINE la matematică la prețul de 15 lei / oră

Dorești să treci cu bine de examenele la matematică ?
Suntem aici pentru a-ți îndeplini această dorință !
Cu o experiență de peste 10 ani în meditații, ne putem mândri cu faptul că toți cei care au fost meditați de către noi au reușit să promoveze examenele la matematică fără niciun fel de emoție, din prima încercare.
Nu contează din ce colț al țării ești, dacă ne alegi pe noi să te medităm, vei avea o reușită garantată la examene!
Oferim meditații online la matematică pentru orice nivel de studiu, respectiv pentru: învățământ primar, învățământ gimnazial, învățământ liceal sau admitere la facultate.

Tariful este unic și este cel mai mic de pe piață : 15 lei / oră .
Plata se va efectua la finalul fiecărei ședințe de meditație.
Iar dacă nu ești mulțumit de o ședință, ai dreptul să nu o plătești !

Iată cum funcționează totul :

  1. Aveți nevoie de un calculator conectat la internet, boxe, microfon și cameră web ;
  2. Va fi necesară instalarea unui program de comunicare video care ne va ajuta să interacționăm în timp real. 
    In acest sens puteți alege Skype.
    Un alt program de comunicare este Google Hangouts, cu mențiunea că pentru a-l putea folosi  este suficient să aveți  creat un cont pe Gmail ;

3. Exercițiile vor fi explicate pe o tablă online, denumită Twidla, care permite comunicarea profesorului cu elevul printr-o simplă invitație.

După cum poți vedea, tehnologia face ca totul să devină simplu și eficient.
Te-am convins ?
Dacă DA, atunci nu mai pierde timpul și contactează-ne pentru a stabili o programare.

Puteți lua legătura cu noi, folosind una dintre modalitățile de mai jos :

contact mate4

Etichete: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

15 Răspunsuri to “Geometrie , notiuni teoretice”

  1. Ana Says:

    ..cati cm ar trebui sa fie deschis compasul? ca tot incerc sa fac astea (bisectoare, mediana, inaltime, mediatoare) dar nu-mi ies T_T

  2. carol Says:

    5 cm ca sa poti

  3. Humulescu diana elena Says:

    5 cm ca sa poti

  4. TRIUNGHIUL | Morom3t3 Says:

    […] 1. Notiuni teoretice […]

  5. TRIUNGHIUL | Morom3t3 Says:

    […] SURSA […]

  6. Cristina Says:

    la ce ai postat pe pagina
    https://georgianp.wordpress.com/tag/triunghi-inscris-intr-un-cerc/
    Raza cercului inscris r triunghiului este :
    r=h*2/3=a√3/2*2/3=a√3/3 nu r=a√3/6 -cum ai scris tu…

    • georgianp Says:

      @ Cristina,

      Daca te uiti cu atentie, observi ca raza cercului inscris triunghiului echilateral, este r = 1/3 * h , deoarece centrul cercului inscris este situat la 1/3 de baza.
      Faci confuzie cu raza cercului circumscris triunghiului, care este notata cu r (u) si care este 2/3 * h, centrul cercului circumscris fiind situat la 2/3 de varf.
      Daca exista ceva inadvertente in articol, sau daca ai propuneri noi, le ascult cu drag🙂

  7. gvitalie Says:

    Doar cercul poate circumscrie o figura.
    Figura din interiorul cercului, se numeste circumscrisa.

    Figurile inscrise in cerc, se numesc – circumscrise.

    Aberatie:
    Patratul circumscrie un triunghi.
    Patratul nu poate circumscrie, fiindca patratul nu este cerc.

  8. gvitalie Says:

    In aceasta figura:
    Cercul extern – circumscrie un triunghi.

    Triunghiul se numeste circumscris, fiindca se afla in interiorul unui cerc extern.

    Cercul din interiorul triunghilui, cerc inscris in triunghi.

    Multumesc.

    • georgianp Says:

      @ gvitalie

      Notiunea de circumscris, dupa cum arata si desenul, face referire la CERC.
      Astfel, conform DEXonline, cercul circumscris este cercul „a cărui circumferință trece prin TOATE VARFURILE unui poligon „.
      Chiar si verbul „a circumscrie”, are conform DEXonline, sensul de : „2. A trasa un cerc care să treacă prin toate vârfurile unui poligon”.
      Daca te deranjeaza notiunea de cerc circumscris, atunci poti sesiza Academia Romana sa transeze problema aceasta.
      Insa in limbajul matematic, nu o sa auzi foarte des zicandu-se cerc extern ( sau cerc exterior ) unui triunghi (patrat) … ci mai degraba se va folosi expresia „cerc circumscris”.

  9. Florin Istrate Says:

    buna ziua,
    am si eu o problema de geometrie plana a carei rezolvare imi da ceva batai de cap. Am coordonatele a minim trei puncte 1(x1,y1), 2(x2,y2), 3(x3,y3) si cunoscand ec. cercului C cu centrul in O(xo,yo) si raza R: (x-xo)^2+(y-yo)^2=R^2 sa aflu raza cercului (R).

    ex: A(xA=4.048680; yA=1.772493), B(xB=4.010052; yB=1.786773), C(xC=3.986075; yC=1.796064).

    Am compus A-B, B-C, A-C iar valorile lui R sunt diferite 381,514, 666,354 si 1034,42.

    La rezolvare rezultatul final este R =2.49648009554. Chiar nu inteleg.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

WordPress.com Logo

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Log Out / Schimbă )

Twitter picture

Comentezi folosind contul tău Twitter. Log Out / Schimbă )

Facebook photo

Comentezi folosind contul tău Facebook. Log Out / Schimbă )

Google+ photo

Comentezi folosind contul tău Google+. Log Out / Schimbă )

Connecting to %s